本次目标

• 熟练组合条件与循环解决完整问题
• 判断该用 for 还是 while
• 开始给所有函数写类型提示
• 为下周的个人项目 A（递归）做准备

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A 段 · 必做

4-1 成绩分级

实现 grade(score: int) -> str：90 及以上 "A"，80–89 "B"，70–79 "C"，60–69 "D"，60 以下 "F"。

分数不在 0–100 之间时返回 "Invalid"。

grade(95)  →  "A"
grade(60)  →  "D"
grade(59)  →  "F"
grade(101) →  "Invalid"
grade(-1)  →  "Invalid"

4-2 数位之和

实现 digit_sum(n: int) -> int，求一个非负整数各位数字之和。不许把它转成字符串。

digit_sum(0)     →  0
digit_sum(12345) →  15
digit_sum(999)   →  27

4-3 判断质数

实现 is_prime(n: int) -> bool。

is_prime(1)  →  False
is_prime(2)  →  True
is_prime(97) →  True
is_prime(91) →  False      # 91 = 7 × 13，容易漏判

4-4 考拉兹步数

实现 collatz_steps(n: int) -> int：偶数除以 2，奇数乘 3 加 1，返回到达 1 所需的步数。

collatz_steps(1)  →  0
collatz_steps(6)  →  8
collatz_steps(27) →  111

然后在提交说明里回答：1 到 1000 之间，哪个起点需要的步数最多？是多少步？

4-5 打印图形

实现 triangle(n: int) -> str，返回一个 n 行的星号三角形字符串，行之间用 \n 分隔，末尾不要换行。

triangle(4) 返回的字符串打印出来是：
*
**
***
****

4-6 猜数游戏

写一个程序（不是函数）：随机生成 1–100 之间的一个整数，反复读入用户的猜测，提示「大了」或「小了」，猜中后输出一共猜了几次。

import random
answer = random.randint(1, 100)

这道题是交互式的，用 print 输出，不用 return。在提交说明里贴上完整玩一局的过程。

4-7 项目预热：汉诺塔的步数

实现 hanoi_steps(n: int) -> int，返回把 n 个盘子从一根柱子移到另一根所需的最少步数。

hanoi_steps(1)  →  1
hanoi_steps(3)  →  7
hanoi_steps(10) →  1023

这道题用循环就能做。 下周学了递归，会用完全不同的方式再做一遍。 两种写法的对比，是个人项目 A 的起点。

在提交说明里写下你发现的规律。

4-8 姓名缩写

实现 initials(full_name: str) -> str，把用空白隔开的姓名变成大写的首字母缩写，每个字母后面跟一个点。

initials("Zhang San Feng")    →  "Z.S.F."
initials("ada lovelace")      →  "A.L."
initials("  Ada   Lovelace ") →  "A.L."
initials("Plato")             →  "P."
initials("")                  →  ""

4-9 凯撒密码

实现 caesar(text: str, k: int) -> str，把每个英文字母沿字母表向后移 k 位，超过 z 就从 a 接着数。 大写字母和小写字母分别在各自的范围里移动；数字、空格、标点保持不变。

caesar("Hello, World!", 3)  →  "Khoor, Zruog!"
caesar("xyz", 3)            →  "abc"
caesar("Khoor", -3)         →  "Hello"
caesar("abc", 29)           →  "def"

k 可以是任意整数：负数表示向前移，大于 26 也可以。

4-10 手写进制转换

实现 to_base(n: int, b: int) -> str，把非负整数 n 写成 b 进制（2 <= b <= 16）的字符串。 大于 9 的数位用大写字母 A–F 表示（十六进制里 A 表示 10，F 表示 15）。

to_base(96, 2)    →  "1100000"
to_base(96, 16)   →  "60"
to_base(255, 16)  →  "FF"
to_base(0, 2)     →  "0"

不许使用 bin()、oct()、hex()、format()，要自己一位一位算出来。

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B 段 · 深入：两种方法算 π，比一比

这一段要你用两种完全不同的算法算同一个常数，然后比较它们。 这是这门课第一次用实验的方法评价算法：哪个算法好，自己运行出来比较。

只需要循环和算术，不用列表。

B-1 莱布尼茨级数

三百多年前莱布尼茨发现：

π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − ⋯

实现 leibniz(n: int) -> float，取前 n 项算出 π 的近似值。

分别取 n = 10, 100, 1000, 10000，把结果和真值 math.pi 一起打印出来， 并算出误差（abs(近似值 - math.pi)）。

B-2 找出误差的规律

把 B-1 的误差列成一张表。仔细观察，会发现一个很整齐的规律。

请回答：

1. n 每乘以 10，误差大致变成原来的几分之一？
2. 照这个规律，要让误差小于 1e-6（小数点后六位准），大概需要多少项？
3. 运行一次，验证你的估计。运行之前，先估计一下要花多长时间。

B-3 蒙特卡洛：用随机数算 π

换一个完全不同的思路：在边长为 1 的正方形里随机撒点，落在四分之一圆内的点所占的比例 应该接近 π/4。

import random

x, y = random.random(), random.random()   # 各是 [0, 1) 里的随机数
# 点 (x, y) 落在四分之一圆内 ⟺ x² + y² ≤ 1

实现 monte_carlo(n: int) -> float，撒 n 个点估计 π。 同样取 n = 1000, 10000, 100000，记录结果和误差。

B-4 比较与结论

把两种方法的误差放在一张表里比较，回答：

1. 同样撒一百万个点 / 取一百万项，哪种更准？
2. 蒙特卡洛的误差随 n 怎么变？（提示：和 B-2 的规律不一样，试试看误差乘以 √n）
3. 如果要算到小数点后六位，两种方法各需要多少次运算？
4. 那蒙特卡洛还有什么用？ 想一想：什么样的问题只能用它？

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C 段 · 基本功：在终端里编辑和查看文件

上周学了把输出重定向到文件。这周学怎么查看这个文件，以及怎么在终端里直接修改它。

看文件：四个命令

改文件：nano

nano 文件名 打开一个最简单的终端编辑器。屏幕最下面两行就是帮助：

C-1 走一遍

把命令和输出截图放进提交说明：

1. 把 B-1 的输出重定向到 pi.txt
2. wc -l pi.txt 看它有多少行
3. 分别用 head -n 3 pi.txt 和 tail -n 3 pi.txt 查看开头和末尾
4. less pi.txt 翻一遍，用 / 搜一个数字，然后按 q 退出
5. nano pi.txt，在文件开头加一行标题，保存退出，再 head -n 1 pi.txt 确认

C-2 想一想

1. 一个一百万行的文件，为什么不该用 cat 看？
2. tail -f 在什么场景下有用？（提示：程序正在运行，日志文件在不断变长）

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提交前自查

• 每个函数都有类型提示
• 4-1 的合法性检查放在最前面
• 4-2 处理了 n = 0
• 4-3 用 91 测过
• 4-4、4-6、4-7 的问题都在提交说明里回答了
• 4-9 用负数的 k 测过，4-10 用 n = 0 测过